2019학년도  1학년  5반  문제 변형 수업 (문제지)

1. [eqn: a,b,c]는 실수, [eqn: c>a>0,`b<0]이고 각 꼭짓점의 좌표가 [eqn: A(-a,`0),`B(b ^{2} +c ^{2} ,`0),`C(b,`c)] 인[eqn: TRIANGLE ABC``]가 존재한다. [eqn: x]축 위의 한 점 [eqn: D(a,`0)]가 있다고 할 때, [eqn: {bar{AC}} ^{2} ,`( {bar{DO}} ^{2} + {bar{BO}} ), {bar{`DC}} ^{2}]이 순서대로 등차수열을 이룸을 증명하고, 공차를 구하시오.  (단, 원점은 [eqn: O] 라 하자).

2019학년도 문제변형 수업 문제지 (/3쪽)

(1503 김천, 연습문제 12-14 변형)

2. 직선 [eqn: y=x] 위의 점 [eqn: P _{n}]과 곡선 [eqn: y= {cases{y=2x ^{2}&(x<0)#y=-2x ^{2}&(x GEQ 0)}}] 위의 점 [eqn: Q _{n}]을 다음 규칙에 따라 정한다.

(가) 점 [eqn: P _{1}]의 좌표는 (10, 10)이다.

(나) 점 [eqn: P _{n}]을 지나고 y축에 수직인 직선이
[eqn: y= {cases{y=2x ^{2}&(x<0)#y=-2x ^{2}&(x GEQ 0)}}]와 만나는 점을 [eqn: Q _{n}]이라고 한다.

(다) 점 [eqn: Q _{n}]을 지나고 x축에 수직인 직선이 직선 [eqn: y=x]와 만나는 점을 [eqn: P _{n+1}]이라고 한다.

이때, 새로 찍히는 점 [eqn: P _{n}]이나 [eqn: Q _{n}] 중 x좌표나 y좌표가 1 이하가 되기 전까지 반복한다고 했을 때, n의 값과

[eqn: {bar{P _{1} Q _{1}}} + {bar{P _{2} Q _{1}}} + {bar{P _{2} Q _{2}}} + {bar{P _{3} Q _{2}}} +` CDOTS `+ {bar{P _{n+1} Q _{n}}}]의 값을 구하여라.

(1508 임상민, 연습문제 13-18 변형)

3. 등식 [eqn: sum _{k=1} ^{n} k ^{3} = LEFT { {n(n+1)} over {2} RIGHT } ^{2}] 을 증명하시오.

(1512 정태화, 연습문제 14-22 수식 증명)

4. 수열 {[eqn: a _{x}]}에 대하여, 다음의 관계식이 성립한다.

[eqn: {a _{x+1}} over {10 ^{a}} +2(1-10 ^{-a} )=a _{x}] (단, [eqn: a _{1} =10 ^{b} +2])

함수 [eqn: f(x)`=`log(a _{x} -2)], [eqn: g(x)`=`xf(x)+c]라 하자. [eqn: g(x)]를 [eqn: n]차 함수라 할 때, [eqn: n]차항의 계수 [eqn: A], [eqn: [ {n} over {2} ]]차 항의 계수 [eqn: B], 상수 [eqn: c]는 다음 세 가지 조건을 만족한다.

(가) [eqn: A,`c,`A+B]는 이 순서대로 공비가 [eqn: 1]이 아닌 등비수열을 이룬다.

(나) [eqn: A+B-c+ {Bc} over {A} =0]

(다) 함수 [eqn: g(x)]의 정의역이 실수 전체의 집합일 때, 함수 [eqn: g(x)]의 최솟값은 [eqn: -17]이다.

이 때, [eqn: g(x)]를 구하시오. (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]를 넘지 않는 최대의 정수)

(1507 오유신, 연습문제 13-11 변형)

5. [eqn: f( alpha ,` beta ,`n)= sum _{k=0} ^{n} a _{k```} `]

(단, [eqn: a _{n}]은 [eqn: n]에 [eqn: alpha]를 곱하고 [eqn: alpha beta -1]로 나눈 나머지)라 하자.

(1) [eqn: f(3,`8,`26)]을 구하시오.

(2) [eqn: f(7,`13,`290)]를 구하시오.

(1513 조은모, 연습문제 14-18 변형)

6. 아래의 질문에 답하시오.

(1) 평면 상에서, 벤 다이어그램을 통해 n개의 집합으로 분할된
영역들을 모두 표현할 수 있을 때, n의 최댓값은?

(2) 공간을 n개의 구로 나눌 때, 나누어진 공간의 개수에 대한 일반항을
구하여라.

(1516 하헌주, 필수 예제 15-6 변형)

7. 곡선 [eqn: y=f(x)=log _{2} x+27]과, [eqn: y=2 ^{x-27}]로 둘러싸인 도형의 내부에 있고 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점의 개수를 구하시오.

(1515 최세현, 연습문제 14-20 변형)

8. 아래의 질문에 답하시오.

(1) [eqn: sum _{k=-n} ^{n} {alpha ^{k}} over {alpha ^{k} +1}]을 간단히 하시오. (단, [eqn: alpha]는 양수)

(2) [eqn: sum _{k=0} ^{2n} {alpha ^{k}} over {alpha ^{k} + alpha ^{n}}]을 간단히 하시오. (단, [eqn: alpha]는 양수)

(1515 최세현, 연습문제 14-2 변형)

9. [eqn: x ^{2} +px+q=0]의 두 실근을 [eqn: a,`b]라고 하자. 여기서 [eqn: f(n)=p TIMES sum _{k=1} ^{n-1} (-1) ^{k+1} TIMES a ^{k} TIMES n ^{n-k}] 라고 할 때 [eqn: f(n)]이 항상 자연수임을 증명하시오.

(1520 황신영, 연습문제 15-25 변형)

10. 레이저를 가지고 놀기 좋아하는 세현이가 있다. 세현이는
어느 날 재미있는 거울을 만들어 실험을 진행하기로 한다. 이 거울은 한번 반사될 때 마다 특수한 장치가 있어 [eqn: k%(0<k<100)]의 비율로 빛의 세기가 강해진다. 하지만 한번 반사된 이후 이 거울 사이의 공간을 진행할 때 빛의 세기가 [eqn: {1} over {r}]배[eqn: (r>0)]로 줄어든다.

처음 입사각은 [eqn: theta], 거울 사이 각은 [eqn: PHI], 초기 빛의 세기는 [eqn: I]이다. [eqn: (0< theta , PHI <90,`sin(p PHI + theta )=1(p IN N))]

(1) 최종지점(검출기)에는 빛이 수직으로 입사한다고 할 때 빛의 세기는 얼마인가?

(2) 검출기에 도달했을 때 빛의 세기가 처음의 10배가 된다면 r을 k에 관한 식으로 나타내라.

(1510 장지원, 연습문제 13-17 변형)

11. 두 점 [eqn: A], [eqn: B]가 임의의 평면상의 위치에 주어져 있다. [eqn: {bar{AP _{1}}} =3], [eqn: {bar{BQ _{1}}} =5] 가 되도록 두 점 [eqn: P _{1}], [eqn: Q _{1}]을 잡는다.
그 이후 점 [eqn: P _{n}], [eqn: Q _{n}][eqn: (n GEQ 1)]는 다음과 같은 규칙에 의해 정해진다.

[eqn: A]를 중심으로 하고 [eqn: P _{n}]을 지나는 원을 그린다.

앞의 단계에서 그린 원 위의 [eqn: P _{n}]에서 출발하는 길이가 [eqn: 2 {bar{BQ _{n}}}] 인 접선을 그리고, 그 끝점을 [eqn: P _{n+1}]으로 정의한다.

선분 [eqn: {bar{AP _{n+1}}}]을 그린다.

[eqn: B]를 중심으로 하고 [eqn: Q _{n}]을 지나는 원을 그린다.

앞의 단계에서 그린 원 위의 [eqn: Q _{n}]에서 출발하는 길이가 [eqn: 2 {bar{AP _{n}}}] 인 접선을 그리고, 그 끝점을 [eqn: Q _{n+1}]으로 정의한다.

선분 [eqn: {bar{BQ _{n+1}}}]을 그린다.

앞의 1~3 과정을 [eqn: n]번 거쳐 만들어진 삼각형의 넓이의 합을 구하여라.

(1517 허태규, 연습문제 15-20 변형)

12.

서율이는 36기 친구들과 함께 미국으로 수학여행을 갔다. 새로운 것도, 신기한 것도 많은 미국. 언덕의 한쪽 경사면의 모습이 [eqn: y=log _{2} x]의 그래프와 정확히 일치하는 언덕을 찾게 되었다.

이 언덕의 최고점을 정남에서 올려다본 각도가 [eqn: 30 DEG], 정동에서 올려다본 각의 크기가 [eqn: 45 DEG]이다. 두 지점 사이는 20m 떨어져 있다.

알고 보니 이 언덕은 한 변이 1m인 벽돌을 쌓고, 나머지 부족한 부분은 흙으로 메꾸어 이런 모양을 만들었다고 한다. 이 경사면을 따라 언덕의 단면을 잘라냈을 때, 지면에서부터 최고점까지 보이는 벽돌의 개수는 몇 개인가?

(1511 전서율, 연습문제 14-20 변형)

13.

서율이는 친구들과 자신이 발견한 산에 탐험하러 갔다가 자신을 포함한 N명의 친구들과 동굴에 갇혀버렸다. 설상가상으로 식량도 부족하기 때문에 한명씩 죽어나가야 한다. 심판의 날에, 1번부터 N번까지 번호를 붙인 N명의 친구들이 원을 이루면서 앉는다. 이제 순서대로 2번째 사람을 제거한다.

한 사람이 제거되면 남은 사람들로 이루어진 원을 따라 2번째 사람을 제거하는 과정을 계속해 나간다. 한 명이 남을 때까지 계속된다. 서율이는 살고 싶고 살아서 할 일도 많기 때문에 죽기 싫다. 1학년 5반 친구들은 모두 20명이고, 1학년 학생들은 모두 101명이다. 살아남기 위해서 선택해야 할 번호는?

(1511 전서율, 필수 예제 14-11, 14-12 통합 변형)

14. 몇 개의 연속한 홀수의 합이 496일 때, 이 연속한 홀수를 구하여라.

(1501 김민서, 연습문제 12-21 변형)

15. 1, 12, 123, 1234, 12345, ... 인 수열이 있다. 이 수열의 n항(n<10)까지의 합을 구하여라.

(1514 진우, 연습문제 14-19 변형)

16. 삼각형 [eqn: ABC]의 세 변의 길이 [eqn: a,`b,`c]가 순서대로 조화수열을 이룬다. (단, [eqn: a<b<c]) (그림 1)

이 조화수열의 각 항의 역수는 직각삼각형 [eqn: A prime B prime C prime]의 세 변의 길이와 같다. (그림 2) 삼각형 [eqn: A prime B prime C prime]의 내접원 [eqn: I prime]의 반지름에 대한 내접원 [eqn: I]의 반지름의 비를 b에 관한 수로 나타내면 [eqn: {q} over {p} b ^{2} sqrt {{s} over {r}}]의 꼴이 된다. ([eqn: p,`q,`r,`s]는 정수이고 [eqn: s]와 [eqn: r]은 1이 아닌 제곱수를 약수로 가지지 않는다)

[eqn: p+q]를 구하여라.

(단, 헤론의 공식 [eqn: S= sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)} `(s= {a+b+c} over {2} )]이다)

(1502 김보민, 연습문제 12-14 변형)

17. [eqn: 2A _{n+1} =S _{n} +3n]로 정의된 수열 [eqn: A _{n}]에 대하여 [eqn: A _{n}]의 일반항을 구하여라.

(1518 허형석, 연습문제 15-13, 15-17 통합 변형)

18. 세 자리 자연수에 대하여 다음 물음에 답하여라.

(1) 4로 나누었을 때 2가 남고 6으로 나누었을 때 3이 남는 수의 합을 구하여라.

(2) 4 또는 6으로 나누었을 때 나머지가 1이고, 5로 나누었을 때 나머지가 2인 수의 합을 구하여라.

(3) 4로 나눈 나머지가 3이고, 3으로 나누었을 때 나머지가 2이고, 5로 나누었을 때 나머지가 4인 수의 합을 구하여라.

(1505 배지혁, 연습문제 12-7 변형)

19.  등비수열 {[eqn: a _{n}]} (단, [eqn: a _{n}]>0) 에 대하여
수열 {[eqn: {1} over {x _{1} a _{n} +x _{2} a _{n+1} + CDOTS +x _{m} a _{n+m-1}}]}이 등비수열인지 아닌지 구별하고, 그 이유를 말하여라.

(1506 손여진, 연습문제 13-10 변형)

20.  x에 관한 삼차함수 [eqn: x ^{3} +px ^{2} +qx+24`]에서 공차가 1인 수열에서 임의의 연속한 세 자연수를 넣었을 떄 나온 함숫값이 등차가 3인 등차수열을 이루었다. p와 q를 구하여라.

(1509 장민준, 연습문제 13-12 변형)

21.  아래 그림과 같은 한 변의 길이가 a인 정사각형에 대하여, 다음 그림에서 나타나는 스트링아트의 규칙대로 찍어나가는 점의 좌표를 [eqn: A _{n} (x _{n} ,y _{n} )]이라고 할 때 [eqn: A _{1} (x _{1} ,y _{1} )]은 [eqn: (0,1)]에서 시작하여 스트링 아트의 규칙대로 계속하였을 때 [eqn: A _{42}]의 좌표는?(단, a의 값은 84보다 훨씬 크다)

(1519 홍민성, 연습문제 15-16 변형)

22.  {[eqn: S _{2n-1}]}은 공차가 α인 등차수열이고, {[eqn: S _{2n}]}은 공차가 β인 등차수열이다. [eqn: a _{1} =p,`a _{2} =q]이다.

(1) {[eqn: a _{n}]}에서 [eqn: a _{n}]을 일반식으로 나타내라.

(2) [eqn: a _{2n-1}]의 일반식에서 n의 범위가 자연수가 되기 위한 조건을
서술하시오.

(1504 박효은, 연습문제 12-10 변형)